[PSAT 기출] 2025 5급 언어논리 가책형 12번 해설 – 페르마의 정리

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2 문제
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개요

다음은 2025년 국가공무원 5급 언어논리영역 가책형 11번 문제 해설이다.

문제

12. 다음 글의 빈칸에 들어갈 말로 가장 적절한 것은?

페르마의 정리는 n이 2보다 큰 자연수일 때 aⁿ＋bⁿ＝cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c가 존재하지 않는다는 것이다. 그런데 페르마는 이에 대한 증명을 제시하지 않았고, 이를 증명하기 위해 수많은 수학자가 도전하였으나 아무도 성공하지 못했다. 그러다가 1993년 와일스가 마침내 페르마의 정리를 증명하게 되었다. 그는 어떻게 이를 증명했을까?

원래 와일스는 타원 방정식을 연구하고 있었고, 이는 페르마의 정리를 증명하는 문제와는 직접적인 관계가 없어 보였다. 그러던 중, 그는 다니야마와 시무라가 제시한 어떤 과감한 추측에 주목하게 되었고, 이 추측에 대한 연구 성과를 통해 페르마의 정리가 타원 방정식과 연관성이 있다는 사실을 알게 되었다. 다니야마와 시무라의 추측을 활용하여 와일스는 페르마의 정리를 다음과 같이 증명했다. 페르마의 정리가 거짓이라고 가정해 보자. 그렇다면 2보다 큰 어떤 자연수 n에 대해, aⁿ＋bⁿ＝cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c가 존재할 것이다. 이 가정을 A라고 하자. 그런데 A와 동치인 주장 B가 있다. B는 특정한 종류의 타원 방정식의 해가 존재한다는 것이다. 그런데 이미 ‘ ? ’라는 것이 증명돼 있었다. 그리고 1993년 와일스는 다니야마와 시무라의 추측이 참이라는 것을 증명했다. 따라서 B는 거짓이고, 그것과 동치인 페르마의 정리가 거짓이라는 가정 A도 거짓이다. 이로써 와일스는 페르마의 정리가 참이라는 것을 증명해 낸 것이다.

① B가 거짓이라면, A는 거짓이다.

② 다니야마와 시무라의 추측이 참이라면, B는 참이다.

③ 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이라면, A는 참이다.

④ B가 참이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.

⑤ A가 거짓이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.

출처: 사이버국가고시센터

문제 해설

1993년 와일스는 다니야마와 시무라의 추측이 참이라는 것을 증명했다. 따라서 B는 거짓이고, 그것과 동치인 페르마의 정리가 거짓이라는 가정 A도 거짓이다. 이로써 와일스는 페르마의 정리가 참이라는 것을 증명해 낸 것이다.

이를 명제 논리로 기호화하면,

다니야마와 시무라의 추측은 참 → 주장 B는 거짓 → 가정 A는 거짓

이다.

주장 B는 거짓 → 가정 A는 거짓

가정 A와 주장 B는 동치이기 때문에 주장 B가 거짓이라면, 가정 A는 거짓이 된다. 즉 페르마의 정리가 거짓이라는 가정이 거짓이 되어, 페르마의 정리는 참이 된다.

다니야마와 시무라의 추측은 참 → 주장 B는 거짓

문제는 다니야마와 시무라의 추측이 참이 된다고 해서, 주장 B가 거짓이라고 말할 수 있는지 여부이다.

위 조건문의 대우는

~주장 B는 거짓 → ~다니야마와 시무라의 추측은 참

≡ 주장 B는 참 → 다니야마와 시무라의 추측은 거짓

이다.

즉 ‘B가 참이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.’이다.

결국 ‘B가 참이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.’라는 것이 증명돼 있었기 때문에, 최종적으로 페르마의 정리가 참이라는 것을 증명해 낸 것이다.

정답은 ④번이다.

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