[PSAT 기출] 2012 5급 언어논리 인책형 39번 40번 해설 – 항아리 검은 공 확률

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2 문제
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5 2012 5급 PSAT 언어논리
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개요

다음은 2012년 국가공무원 5급 언어논리영역 인책형 39번, 40번 문제 해설이다.

문제

※ 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. [문 39~문 40]

안을 볼 수 없는 항아리에 공이 하나 이상 들어 있다. 공은 검은 공이거나 하얀 공이다. 우리는 공을 하나씩 꺼낼 텐데, 항아리에서 공 하나를 꺼내면 색깔을 확인하자마자 곧바로 항아리에 다시 넣어야 한다. 첫째로 꺼낸 공이 검정이고 둘째로 꺼낸 공도 검정이었다고 해보자. 셋째로 꺼낼 공이 검정일 확률은 얼마일까?

우리는 항아리에 검은 공이 얼마나 들어 있는지 전혀 모른다. 다만 꺼낼 공의 색깔이 검정이거나 하양이라는 사실만 알 뿐이다. 논리적으로 생각해 볼 때 새로 꺼낼 공이 검정일 확률과 하양일 확률은 같다. 이는 논리 요소만 고려한 계산인데 이를 ‘계산법 A’라 하자. 이에 따라 계산하면 첫째 공과 둘째 공이 모두 검정일 때, 셋째 공이 검정일 확률은 1/2이다.

하지만 공을 모두 N번 꺼내어 이 중에서 검은 공을 n번 꺼냈다고 생각해보자. 총 N번 경험에서 검은 공을 n번 경험한 셈이다. 이런 경험을 고려해 볼 때 우리는 항아리 속의 전체 공에서 검은 공의 비율이 n/N이라고 보아야 한다. 따라서 N+1번째 꺼낼 공이 검정일 확률은 n/N이다. 이 계산은 경험 요소만을 고려한 계산인데 이를 ‘계산법 B’라 하자. 첫째 공과 둘째 공이 모두 검정일 때, 셋째 공이 검정일 확률은 2/2이다. 물론 공을 꺼낸 횟수가 증가할수록 검은 공이 나올 확률이 1/2로 수렴하지 않는다면, 항아리에 검은 공과 하얀 공이 애초에 똑같은 비율로 들어 있지 않았다고 보아야 한다.

제3의 견해는 논리 요소와 경험 요소 모두를 고려해 확률을 계산한 ‘계산법 C’이다. 이를 고안한 철학자 C는 두 요소의 각 확률 값 1/2과 n/N에서 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 더하여 확률을 얻었다. 첫째 공과 둘째 공이 모두 검정일 때, 셋째 공이 검정일 확률은 아래와 같다.

\(\dfrac{\text{1+2}}{\text{2+2}}=\dfrac{\text{3}}{\text{4}}\)

문 39. 위의 계산법 C에 따라 확률을 계산했을 때 잘못 판단한 것은?

① 바로 직전에 나온 공의 색깔은 이후에 꺼낼 공이 바로 그 색깔을 지닐 확률을 변화시킨다.

② 공을 꺼낸 횟수가 증가함에 따라, 검은 공이 나올 확률 값은 증가와 감소를 반복할 수 있다.

③ 공을 꺼낸 횟수가 유한한 한, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률은 0이 되지도 1이 되지도 않는다.

④ 공을 꺼낸 횟수가 매우 클 경우, 검은 공이 나올 확률은 계산법 B에 따른 값과 거의 비슷해진다.

⑤ 지금까지 검은 공이 나온 횟수와 하얀 공이 나온 횟수가 같다 하더라도, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률은 1/2이 아닐 수 있다.

문 40. 항아리에 검은 공과 하얀 공이 애초에 똑같은 비율로 들어 있고 지금까지 공을 N번 꺼냈다고 가정하자.(단, N은 0이 아니다) N+1번째 꺼낼 공이 검정일 확률에 대해 올바르게 평가한 것을 <보기>에서 모두 고르면?

<보 기>

ㄱ. N을 계속 증가시키다 보면, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률 값은 세 가지 계산법에서 모두 비슷해진다.

ㄴ. 계산법 A, B, C 중 계산법 C에 따른 확률 값이 가장 큰 경우가 있다.

ㄷ. 계산법 A, B, C 중 계산법 C에 따른 확률 값이 가장 작은 경우가 있다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

출처: 사이버국가고시센터

39번 문제 해설

① 바로 직전에 나온 공의 색깔은 이후에 꺼낼 공이 바로 그 색깔을 지닐 확률을 변화시킨다.

1	2	3
검은 공	검은 공	검은 공 ?

\(\dfrac{\text{1+}{\color{magenta}2}}{\text{2+2}}=\dfrac{\color{magenta}3}{\text{4}}\)

1	2	3
검은 공	흰 공	검은 공 ?

\(\dfrac{\text{1+}{\color{magenta}1}}{\text{2+2}}=\dfrac{\color{magenta}2}{\text{4}}\)

위 예에서 두 번째 나온 공의 색깔이 검은색일 경우 세 번째 나온 공의 색깔이 검은색일 확률은 \(\dfrac{\text{3}}{\text{4}}\)이다.

그런데 두 번째 나온 공의 색깔이 흰색일 경우 세 번째 나온 공의 색깔이 검은색일 확률은 \(\dfrac{\text{2}}{\text{4}}\)로 감소한다.

계산법 C의 확률 계산식은 \(\dfrac{\text{1+n}}{\text{2+N}}\)이다. 이 계산식의 n에 따라 확률 값이 달라진다.

그러므로 바로 직전에 나온 공의 색깔은 이후에 꺼낼 공이 바로 그 색깔을 지닐 확률을 변화시킨다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

② 공을 꺼낸 횟수가 증가함에 따라, 검은 공이 나올 확률 값은 증가와 감소를 반복할 수 있다.

1	2	3	4	5	6
검은 공	검은 공	검은 공	흰 공	검은 공	흰 공

세 번째에 검은 공이 나올 확률: \(\dfrac{\text{1+2}}{\text{2+2}}=75\%\)

네 번째에 검은 공이 나올 확률: \(\dfrac{\text{1+3}}{\text{2+3}}=80\%\)

다섯 번째에 검은 공이 나올 확률: \(\dfrac{\text{1+3}}{\text{2+4}}=66\%\)

여섯 번째에 검은 공이 나올 확률: \(\dfrac{\text{1+4}}{\text{2+5}}=71.4\%\)

따라서 보기의 내용은 옳다.

③ 공을 꺼낸 횟수가 유한한 한, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률은 0이 되지도 1이 되지도 않는다.

\(\dfrac{\text{1+n}}{\text{2+N}}\)

계산법 B에 의한 확률 최솟값은 \(\dfrac{\text{0}}{\text{N}}\)이다. 그렇다면 계산법 C에 의한 확률 최솟값은 \(\dfrac{\text{1+0}}{\text{2+N}}\)로, N은 1이상이기 때문에 0이 될 수 없다.

계산법 B에 의한 확률 최댓값은 \(\dfrac{\text{N}}{\text{N}}=\dfrac{\text{1}}{\text{1}}\)이다. 그렇다면 계산법 C에 의한 확률 최댓값은 \(\dfrac{\text{1+1}}{\text{2+1}}\)로, 1이 될 수 없다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

④ 공을 꺼낸 횟수가 매우 클 경우, 검은 공이 나올 확률은 계산법 B에 따른 값과 거의 비슷해진다.

\(\dfrac{\text{1+n}}{\text{2+N}}\)

N=1,000,000, n=1,000,000이라고 가정하자.

계산법 B에 따른 값: \(\dfrac{\text{1,000,000}}{\text{1,000,000}}=1\)

계산법 C에 따른 값: \(\dfrac{\text{1+1,000,000}}{\text{2+1,000,000}}≒1\)

계산법 B에 따른 값과 계산법 C에 따른 값이 거의 유사하다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

⑤ 지금까지 검은 공이 나온 횟수와 하얀 공이 나온 횟수가 같다 하더라도, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률은 1/2이 아닐 수 있다.

1	2	3	4	5
검은 공	검은 공	흰 공	흰 공	검은 공?

다섯 번째 공이 검정일 확률: \(\dfrac{\text{1+2}}{\text{2+4}}=\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)

지금까지 검은 공이 나온 횟수와 하얀 공이 나온 횟수가 같다면, 계산법 B에 따른 값은 \(\dfrac{\text{n}}{\text{N}}=\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)이 되어, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률은 항상 1/2이 된다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

정답은 ⑤번이다.

40번 문제 해설

ㄱ. N을 계속 증가시키다 보면, 새로 꺼낼 공이 검정일 확률 값은 세 가지 계산법에서 모두 비슷해진다.

계산법 A에 따른 값: \(\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)

계산법 B에 따른 값: \(\dfrac{\text{0.5N}}{\text{N}}=\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)

계산법 C에 따른 값: \(\dfrac{\text{1+0.5N}}{\text{2+N}}=\dfrac{\text{1+0.5N}}{\text{2×(1+0.5N)}}=\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)

따라서 보기의 내용은 옳다.

ㄴ. 계산법 A, B, C 중 계산법 C에 따른 확률 값이 가장 큰 경우가 있다.

\(\dfrac{\text{1+n}}{\text{2+N}}\)

계산법 B에 의한 확률 최댓값은 \(\dfrac{\text{N}}{\text{N}}=\dfrac{\text{1}}{\text{1}}\)이다. 그렇다면 계산법 C에 의한 확률 최댓값은 \(\dfrac{\text{1+1}}{\text{2+1}}=\dfrac{\text{2}}{\text{3}}\)로, 1이 될 수 없다.

계산법 A, B, C 중 계산법 C가 계산법 B에 따른 확률 값보다 큰 경우는 없다. 계산법 A에 따른 확률 값 \(\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)때문에 계산법 C에 따른 확률 값이 계산법 B보다 작아지기 때문이다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

ㄷ. 계산법 A, B, C 중 계산법 C에 따른 확률 값이 가장 작은 경우가 있다.

계산법 B에 의한 확률 최솟값은 \(\dfrac{\text{0}}{\text{N}}=0\)이다. 그렇다면 계산법 C에 의한 확률 최솟값은 \(\dfrac{\text{1+0}}{\text{2+N}}\)로, 0이 될 수 없다. 계산법 A에 따른 확률 값 \(\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\)때문에 계산법 C에 따른 확률 값이 계산법 B보다 커지기 때문이다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

정답은 ①번이다.

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