[PSAT 기출] 2018 민경채 상황판단 가책형 24번 해설 – 엘로 평점 시스템 확률 논리퀴즈

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개요

다음은 2018년 국가공무원 민간경력자 일괄채용 (민경채) 상황판단영역 가책형 24번 문제 해설이다.

문제

문 24. 다음 글을 근거로 판단할 때, <보기>에서 옳은 것만을 모두 고르면?

엘로 평점 시스템(Elo Rating System)은 체스 등 일대일 방식의 종목에서 선수들의 실력을 표현하는 방법으로 물리학자 아르파드 엘로(Arpad Elo)가 고안했다.

임의의 두 선수 X, Y의 엘로 점수를 각각 E_X, E_Y라 하고 X가 Y에게 승리할 확률을 P_XY, Y가 X에게 승리할 확률을 P_YX라고 하면, 각 선수가 승리할 확률은 다음 식과 같이 계산된다. 무승부는 고려하지 않으므로 두 선수가 승리할 확률의 합은 항상 1이 된다.

\(P _{XY} = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{X} -E _{Y} )/400}}\)

\(P _{YX} = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{Y} -E _{X} )/400}}\)

두 선수의 엘로 점수가 같다면, 각 선수가 승리할 확률은 0.5로 같다. 만약 한 선수가 다른 선수보다 엘로 점수가 200점 높다면, 그 선수가 승리할 확률은 약 0.76이 된다.

경기 결과에 따라 각 선수의 엘로 점수는 변화한다. 경기에서 승리한 선수는 그 경기에서 패배할 확률에 K를 곱한 만큼 점수를 얻고, 경기에서 패배한 선수는 그 경기에서 승리할 확률에 K를 곱한 만큼 점수를 잃는다(K는 상수로, 보통 32를 사용한다). 승리할 확률이 높은 경기보다 승리할 확률이 낮은 경기에서 승리했을 경우 더 많은 점수를 얻는다.

<보 기>

ㄱ. 경기에서 승리한 선수가 얻는 엘로 점수와 그 경기에서 패배한 선수가 잃는 엘로 점수는 다를 수 있다.

ㄴ. K＝32라면, 한 경기에서 아무리 강한 상대에게 승리해도 얻을 수 있는 엘로 점수는 32점 이하이다.

ㄷ. A가 B에게 패배할 확률이 0.1이라면, A와 B의 엘로 점수 차이는 400점 이상이다.

ㄹ. A가 B에게 승리할 확률이 0.8, B가 C에게 승리할 확률이 0.8이라면, A가 C에게 승리할 확률은 0.9 이상이다.

① ㄱ, ㄴ

② ㄴ, ㄹ

③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

출처: 사이버국가고시센터

문제 해설

ㄱ. 경기에서 승리한 선수가 얻는 엘로 점수와 그 경기에서 패배한 선수가 잃는 엘로 점수는 다를 수 있다.

P_XY + P_YX = 1

P_YX = 1 – P_XY

선수 X가 승리할 확률 + 선수 Y가 승리할 확률 = 1

선수 Y가 승리할 확률 = 1 – 선수 X가 승리할 확률 = 선수 X가 패배할 확률

선수 Y가 승리할 확률 = 선수 X가 패배할 확률

경기에서 승리한 선수는 그 경기에서 패배할 확률에 K를 곱한 만큼 점수를 얻고, 경기에서 패배한 선수는 그 경기에서 승리할 확률에 K를 곱한 만큼 점수를 잃는다(K는 상수로, 보통 32를 사용한다).

경기에서 승리한 선수 X가 얻는 엘로 점수 = 선수 X가 패배할 확률(선수 Y가 승리할 확률) × K

경기에서 패배한 선수 Y가 잃는 엘로 점수 = 선수 Y가 승리할 확률(선수 X가 패배할 확률) × K

경기에서 승리한 선수가 얻는 엘로 점수와 그 경기에서 패배한 선수가 잃는 엘로 점수는 항상 같다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

ㄴ. K＝32라면, 한 경기에서 아무리 강한 상대에게 승리해도 얻을 수 있는 엘로 점수는 32점 이하이다.

경기에서 승리한 선수 X가 얻는 엘로 점수 = 선수 X가 패배할 확률(선수 Y가 승리할 확률) × K

확률의 최댓값은 1이다. 강한 상대가 승리할 확률이 1이라면, 1 × 32이므로, 한 경기에서 아무리 강한 상대에게 승리해도 얻을 수 있는 엘로 점수는 32점 이하이다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

ㄷ. A가 B에게 패배할 확률이 0.1이라면, A와 B의 엘로 점수 차이는 400점 이상이다.

선수 A가 패배할 확률 = 선수 B가 승리할 확률

\(P _{BA} = 0.1 = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{B} -E _{A} )/400}}\)

양변에 역수를 취한다.

\(1+10 ^{-(E _{B} -E _{A} )/400} = \dfrac{1}{0.1}\)

\(1+10 ^{-(E _{B} -E _{A} )/400} = 10\)

\(10 ^{-(E _{B} -E _{A} )/400} = 10 -1 = 9\)

\(10 ^{-(E _{B} -E _{A} )/400} = 10 ^{(E _{A} -E _{B} )/400} = 9\)

\(10 ^{(E _{A} -E _{B} )/400} = 9\)

10의 지수인 \(\dfrac{(E _{A} -E _{B} )}{400}\)가 1보다 작아야 \(10 ^{(E _{A} -E _{B} )/400} = 9\)가 성립한다.

그러므로 \((E _{A} -E _{B} )\)인 A와 B의 엘보 점수 차이는 400점 미만이어야 한다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

또는

A가 B에게 승리할 확률: 0.9

\(P _{AB} = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{A} -E _{B} )/400}}\)에서 \(-(E _{A} -E _{B} )\)에 400을 대입한다. \(P _{AB} = 0.909\)가 된다.

엘로 점수 차이가 크면 클수록 확률은 높아지므로, 보기의 내용은 옳지 않다.

ㄹ. A가 B에게 승리할 확률이 0.8, B가 C에게 승리할 확률이 0.8이라면, A가 C에게 승리할 확률은 0.9 이상이다.

\(P _{AB} = 0.8 = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{A} -E _{B} )/400}}\)

양변에 역수를 취한다.

\(1.25=1+10 ^{-(E _{A} -E _{B} )/400}\)

\(0.25=10 ^{-(E _{A} -E _{B} )/400}\)

\(P _{BC} = 0.8 = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{B} -E _{C} )/400}}\)

\(0.25=10 ^{-(E _{B} -E _{C} )/400}\)

\(10 ^{-(E _{A} -E _{B} )/400}\)와 \(10 ^{-(E _{B} -E _{C} )/400}\)를 곱하면 \(10 ^{\dfrac{-(E _{A} -E _{B} )}{400}+\dfrac{-(E _{B} -E _{C} )}{400}}\)가 되어 \(10 ^{\dfrac{-(E _{A} -E _{C} )}{400}}\)가 된다.

즉 \(0.25×0.25=0.0625=10 ^{\dfrac{-(E _{A} -E _{C} )}{400}}\)가 된다.

A가 C에게서 승리할 확률 \(P _{AC} = \dfrac{1}{1+10 ^{\dfrac{-(E _{A} -E _{C} )}{400}}}=\dfrac{1}{1.0625}≒0.94\)이다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

또는

A가 B에게 승리할 확률이 0.8이므로 엘보 점수 차이가 200점 이상 난다. 또한 B가 C에게 승리할 확률이 0.8이므로 엘보 점수 차이가 200점 이상 난다.

\(P _{AC} = \dfrac{1}{1+10 ^{-(E _{A} -E _{C} )/400}}\)에서 \(-(E _{A} -E _{C} )\)에 400을 대입한다. \(P _{AC} = 0.909\)가 된다.

정답은 ②번이다.

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