[PSAT 기출] 2021 5급 언어논리 가책형 39번 40번 해설 – 90개 구슬 항아리 붉은색 확률 기댓값 최대화 원리

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2 문제
3 39번 문제 해설
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5 2021 5급 PSAT 언어논리
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개요

다음은 2021년 국가공무원 5급 언어논리영역 가책형 39번, 40번 문제 해설이다.

문제

※ 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. [문 39. ~ 문 40.]

90개의 구슬이 들어 있는 항아리가 있다. 이 항아리에는 붉은색 구슬이 30개 들어 있다. 나머지 구슬은 검은색이거나 노란색이지만, 그 이외에는 어떤 정확한 정보도 주어져 있지 않다. 내기1은 다음의 두 선택 중 하나를 택한 후 항아리에서 구슬을 하나 꺼내 그 결과에 따라서 상금을 준다.

선택1: 꺼낸 구슬이 붉은색이면 1만 원을 받고, 그 이외의 경우에는 아무것도 받지 못한다.

선택2: 꺼낸 구슬이 검은색이면 1만 원을 받고, 그 이외의 경우에는 아무것도 받지 못한다.

최악의 상황을 피하고자 한다면, 당신은 둘 중에서 선택1을 택해야 한다. 꺼낸 구슬이 붉은색일 확률은 1/3로 고정되어 있지만, 꺼낸 구슬이 검은색일 확률은 0일 수도 있고 그 경우 당신은 돈을 받지 못할 것이기 때문이다. 그럼 이번에는 다음의 내기2를 생각해보자.

선택3: 꺼낸 구슬이 붉은색이거나 노란색이면 1만 원을 받고, 그 이외의 경우에는 아무것도 받지 못한다.

선택4: 꺼낸 구슬이 검은색이거나 노란색이면 1만 원을 받고, 그 이외의 경우에는 아무것도 받지 못한다.

위에서와 마찬가지로 최악의 상황을 피하고자 한다면, 당신은 선택3이 아닌 선택4를 택해야 한다. 꺼낸 구슬이 붉은색이거나 노란색일 확률의 최솟값은 1/3이지만, 검은색이거나 노란색일 확률은 2/3로 고정되어 있기 때문이다.

최악의 상황을 피하는 결정은 합리적이다. 즉, 선택1과 선택4를 택하는 것은 합리적이다. 그런데 이 결정은 여러 선택지들 중에서 한 가지를 합리적으로 선택하기 위해서는 기댓값이 가장 큰 선택지를 선택해야 한다는 ‘기댓값 최대화 원리’를 위반한다. 기댓값은 모든 가능한 사건들에 대해, 각 사건이 일어날 확률과 그 사건이 일어났을 때 받게 되는 수익의 곱들을 모두 합한 값이다. 우리는 꺼낸 구슬이 붉은색일 확률은 1/3이라는 것을 알고 있지만 꺼낸 구슬이 검은색일 확률은 모르고 있다. 하지만 그 확률이 0과 2/3 사이에 있는 어떤 값이라는 것은 알고 있다. 그 값을 b라고 하자. 그렇다면 선택1의 기댓값은 1/3만 원, 선택2는 b만 원, 선택3은 1－b만 원, 선택4는 2/3만 원이다.

당신은 선택1과 선택2 중에서 선택1을 택했다. 이 선택이 기댓값 최대화 원리에 따라 이루어진 것이라면, b는 1/3보다 작아야 한다. 한편, 당신은 선택3과 선택4 중에서 선택4를 택했다. 이 선택이 기댓값 최대화 원리에 따라 이루어진 것이라면, 1－b는 2/3보다 작아야 한다. 즉 b는 1/3보다 커야 한다. 결국, 당신의 두 선택 중 하나는 기댓값 최대화 원리에 따른 선택이 아니다.

이처럼 ㉠ 항아리 문제는 정확한 정보가 주어지지 않은 상태에서 우리의 합리적 선택이 기댓값 최대화 원리와 충돌하는 경우가 있다는 것을 보여준다.

문 39. 위 글에 대한 분석으로 적절한 것만을 <보기>에서 모두 고르면?

<보 기>

ㄱ. 항아리 문제에서 붉은색 구슬이 15개로 바뀐다고 하더라도 ㉠이라는 결론은 따라 나온다.

ㄴ. 항아리 문제에서 최악의 상황을 피하고자 내기1에서 선택1을, 내기2에서 선택4를 택한 것이 합리적인 결정이 아니라는 것을 받아들인다면, ㉠이라는 결론은 따라 나오지 않는다.

ㄷ. 꺼낸 구슬이 검은색일 확률이 얼마인가에 대한 정확한 정보가 주어지지 않은 경우에는 기댓값 사이의 크기를 비교할 수 없다는 것을 받아들인다면, ㉠이라는 결론은 따라 나오지 않는다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

문 40. 위 글을 토대로 할 때, 다음 <사례>에서 추론할 수 있는 것만을 <보기>에서 모두 고르면?

<사 례>

갑과 을이 선택1과 선택2 중에서 하나, 그리고 선택3과 선택4 중에서 하나를 고른다. 그 후, 항아리에서 각자 구슬을 한 번만 뽑아 자신이 뽑은 구슬의 색깔에 따라서 두 선택에 따른 상금을 받는다고 해 보자. 갑은 선택1과 선택3을 택했다. 을은 선택1과 선택4를 택했다.

<보 기>

ㄱ. 갑과 을이 같은 액수의 상금을 받았다면, 갑이 꺼낸 구슬은 노란색이었을 것이다.

ㄴ. 항아리에 검은색 구슬의 개수가 20개 미만이라면, 갑의 선택은 기댓값이 가장 큰 선택지이다.

ㄷ. 갑과 을이 아닌 사회자가 구슬을 한 번만 뽑아 그 구슬의 색깔에 따라서 갑과 을에게 상금을 주는 것으로 규칙을 바꾼다면, 갑이 을보다 더 많은 상금을 받을 확률과 그렇지 않을 확률은 같다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

출처: 사이버국가고시센터

39번 문제 해설

ㄱ. 항아리 문제에서 붉은색 구슬이 15개로 바뀐다고 하더라도 ㉠이라는 결론은 따라 나온다.

90개의 구슬 중 붉은색 구슬이 15개

선택1 확률: 15/90 = 1/6

선택2 확률 쵯솟값: 0/90 = 0

최악의 상황을 피하고자 한다면, 선택2 대신 선택1을 택해야 한다. 꺼낸 구슬이 붉은색일 확률은 1/6로 고정되어 있지만, 꺼낸 구슬이 검은색일 확률은 0일 수도 있기 때문이다.

선택3 확률 최솟값: 1/6

선택4 확률: 1 – 1/6 = 5/6

최악의 상황을 피하고자 한다면, 선택3이 아닌 선택4를 택해야 한다. 꺼낸 구슬이 붉은색이거나 노란색일 확률의 최솟값은 1/6이지만, 검은색이거나 노란색일 확률은 5/6로 고정되어 있기 때문이다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

보기의 대우는 ‘㉠이라는 결론이 나온다면, 최악의 상황을 피하고자 내기1에서 선택1을, 내기2에서 선택4를 택한 것이 합리적인 결정이다’이다.

항아리 문제에서 합리적인 선택은 최악의 상황을 피하는 결정을 하는 것이다. 그에 따라 내기1에서 선택1을, 내기2에서 선택4를 택했다. 내기 1에서는 선택2의 확률이 0일 수도 있고, 내기 2에서는 선택3의 확률의 최솟값이 선택 4의 확률보다 적을 수도 있기 때문이다.

문제는 항아리에 검은색 구슬과 노란색 구슬의 정확한 갯수에 대한 정보가 주어지지 않았다는 것이고, 그에 따라 ㉠이라는 결론이 나왔다.

따라서 ‘㉠이라는 결론이 나온다면, 최악의 상황을 피하고자 내기1에서 선택1을, 내기2에서 선택4를 택한 것이 합리적인 결정이다’가 참이기 때문에 그의 대우인 보기의 내용 역시 참이 된다.

보기의 내용은 옳다.

보기의 대우는 ‘㉠이라는 결론이 나온다면, 꺼낸 구슬이 검은색일 확률이 얼마인가에 대한 정확한 정보가 주어지지 않은 경우에도 기댓값 사이의 크기를 비교할 수 있다’이다.

선택2의 확률은 0과 2/3 사이이기 때문에 정확한 기댓값을 구할 수 없다.

하지만 선택4의 경우 꺼낸 구슬이 검은색일 확률이 얼마인가에 대한 정확한 정보가 주어지지 않았음에도, 기댓값이 2/3이라는 것을 알 수 있다. 그에 따라 선택1과 선택 4의 기댓값 사이의 크기를 비교할 수 있다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

정답은 ⑤번이다.

40번 문제 해설

ㄱ. 갑과 을이 같은 액수의 상금을 받았다면, 갑이 꺼낸 구슬은 노란색이었을 것이다.

갑과 을이 1만 원의 상금을 받았다고 가정하자.

갑의 경우 꺼낸 구슬이 붉은색이면 선택1과 선택3에 따라서 2만 원을 받게 된다. 따라서 붉은색 구슬이 아니다. 노란색 구슬에 경우 선택3만 해당하여 1만 원을 받는다.

을의 경우 세 종류의 구슬 중 어떤 것이 나와도 1만 원을 받는다.

갑과 을이 2만 원의 상금을 받았다고 가정하자.

을의 경우 세 종류의 구슬 중 어떤 것이 나와도 1만 원을 받기 때문에 2만 원의 상금을 받을 수 없다.

그러므로 갑과 을이 같은 액수의 상금을 받았다면, 갑이 꺼낸 구슬은 노란색이었을 것이다.

따라서 보기의 내용은 옳다.

ㄴ. 항아리에 검은색 구슬의 개수가 20개 미만이라면, 갑의 선택은 기댓값이 가장 큰 선택지이다.

꺼낸 구슬이 검은색일 확률은 0과 2/9 미만이다.

선택1의 기댓값은 1/3만 원이다.

선택2의 기댓값은 2/9만 원 미만이다.

선택3의 기댓값은 1 – 2/9 = 7/9만 원 이상이다.

선택4의 기댓값은 2/3만 원이다.

선택1과 선택2 중 기댓값이 가장 큰 것은 선택1이다. 선택3과 선택4 중 기댓값이 가장 큰 것은 선택3이다.

따라서 값은 선택은 선택1과 선택3이기 때문이 기댓값이 가장 큰 선택지이다.

보기의 내용은 옳다.

을이 택한 선택지는 선택1 + 선택4이기 때문에 어떤 구슬이 나와도 1만 원을 받는다. 갑이 을보다 더 많은 상금을 받으려면 갑이 2만 원의 상금을 받아야 한다.

갑이 택한 선택지는 선택1 + 선택3이기 때문에 2만 원의 상금을 받으려면 붉은색 구슬이 나와야 한다. 구슬을 한 번만 뽑아 그 구슬이 붉은색 구슬일 확률은 1/3이다. 1/3 확률로 갑이 을보다 더 많은 상금을 받는다.

반대로 1 – 1/3 = 2/3 확률로 갑이 을보다 더 많은 상금을 받지 못한다.

그러므로 갑이 을보다 더 많은 상금을 받을 확률과 그렇지 않을 확률은 같지 않다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

정답은 ③번이다.

개요

문제

39번 문제 해설

40번 문제 해설

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