[PSAT 기출] 2022 5급 언어논리 나책형 26번 해설 – 소수 약수 자연수 수학자 증명

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개요

다음은 2022년 국가공무원 5급 언어논리영역 나책형 26번 문제 해설이다.

문제

문 26. 다음 글의 빈칸에 들어갈 내용으로 가장 적절한 것은?

어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 약수라고 한다. 예를 들어 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이다. 소수는 자연수 중에서 1과 자신 이외의 수로는 나누어떨어지지 않는 수를 말한다. 이때 1은 소수가 아니라고 본다. 수학자들은 ‘1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가진다.’라는 것을 증명했다. 더 나아가 수학자들은 ‘소수는 무한히 많다.’라는 명제를 증명하고 싶어 했다. 그런데 소수를 일일이 꼽아보는 과정을 통해서는 원하는 증명을 얻을 수 없다. 대신 수학자들은 논증을 통해 이 명제를 증명했는데, 이는 ‘임의의 소수 N에 대해서 N보다 큰 소수가 존재한다.’라는 것을 보임으로써 이루어진다.

우선 1부터 자연수 N 사이의 모든 자연수를 곱한 수, 1×2×3×…×N, 즉 N!을 생각해 보자. 이 수는 N까지의 모든 자연수로 나누어떨어진다. 그렇다면 N!에 1을 더한 수, (N!＋1)은 어떤가? 이 수는 2로 나누어도 1이 남고, 3으로 나누어도 1이 남고, N으로 나누어도 1이 남는다. 따라서 (N!＋1)은 2에서 N까지의 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 그렇다면 _________. (N!＋1)이 소수일 경우에는 (N!＋1)은 N보다 크므로 N보다 큰 소수가 존재한다. (N!＋1)이 그보다 작은 소수로 나누어떨어지는 경우에도, 그 소수는 N보다 클 수밖에 없다. 따라서 이런 경우에도 N보다 큰 소수가 존재한다. 이는 임의의 자연수에 대해서 참이므로, N이 소수인 경우에도 참이다. 즉 임의의 소수 N에 대해서, N보다 큰 소수가 존재한다는 것을 알 수 있다.

① (N!＋1)은 소수이다

② (N!＋1)은 소수이거나, N보다 작은 소수를 약수로 갖는다

③ (N!＋1)은 소수이거나, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

④ (N!＋1)은, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

⑤ (N!＋1)은 소수가 아니고, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

출처: 사이버국가고시센터

문제 해설

소수는 자연수 중에서 1과 자신 이외의 수로는 나누어떨어지지 않는 수를 말한다.

수학자들은 ‘1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가진다.’라는 것을 증명했다.

수학자들은 ‘소수는 무한히 많다.’라는 명제를 증명하고 싶어 했고, 논증을 통해 이 명제를 증명했는데, 이는 ‘임의의 소수 N에 대해서 N보다 큰 소수가 존재한다.’라는 것을 보임으로써 이루어진다.

1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가지기 때문에 자연수 (N!＋1)은 1)소수이거나 2)소수를 약수로 가진다.

1) (N!＋1)이 소수일 경우

(N!＋1)은 소수 N보다 크므로 소수 N보다 큰 소수가 존재한다.

2) (N!＋1)이 소수를 약수를 가질 경우

(N!＋1)은 2에서 N까지의 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다.

만약 (N!＋1)이 그보다 작은 소수로 나누어떨어지는 경우에 그 소수는 N보다 클 수밖에 없다. 왜냐하면 2에서 N까지의 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않지만 N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수로는 나누어지기 때문이다.

(N!＋1)이 그보다 작은 소수로 나누어떨어지는 경우 소수 N보다 큰 소수가 존재한다.

따라서 (N!＋1)은 소수이거나, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다.

① (N!＋1)은 소수이다

‘1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가진다.’는 증명에 따라 자연수 (N!＋1)이 소수를 약수를 가지는 경우도 있다는 것을 보여야 한다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

② (N!＋1)은 소수이거나, N보다 작은 소수를 약수로 갖는다

이미 본문에서 (N!＋1)이 2에서 N까지의 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다는 것을 증명했다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

③ (N!＋1)은 소수이거나, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

보기의 내용은 옳다.

④ (N!＋1)은, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

‘1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가진다.’는 증명에 따라 자연수 (N!＋1)이 소수일 경우도 있다는 것을 보여야 한다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

⑤ (N!＋1)은 소수가 아니고, N보다 크고 (N!＋1)보다 작은 소수를 약수로 갖는다

‘1을 제외한 모든 자연수가 소수이거나 소수를 약수로 가진다.’는 증명에 따라 자연수 (N!＋1)이 소수일 경우도 있다는 것을 보여야 한다.

따라서 보기의 내용은 옳지 않다.

정답은 ③번이다.

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